はじめに
分散型取引所（DEX）であるユニスワップ（Uniswap）は、自動マーケットメーカー（AMM）モデルを採用しており、従来のオーダーブック形式とは異なる価格決定メカニズムを持っています。この価格決定メカニズムの中心となるのが「価格インパクト」です。価格インパクトは、取引量が増えるほど価格変動が大きくなる現象であり、ユニスワップを利用する上で理解しておくべき重要な概念です。本稿では、ユニスワップにおける価格インパクトの計算方法を、数式を用いて詳細に解説します。また、価格インパクトが取引に与える影響や、それを軽減するための戦略についても考察します。
ユニスワップのAMMモデル
ユニスワップは、x * y = k という数式で表される定数積マーケットメーカー（Constant Product Market Maker）モデルを採用しています。ここで、x と y はそれぞれトークンAとトークンBのプール内の量を表し、k は定数です。この数式は、取引が行われるたびにプール内のトークンバランスが変化し、そのバランスが常にkを維持するように価格が調整されることを意味します。つまり、あるトークンを購入すると、そのトークンのプール内の量は減少し、もう一方のトークンのプール内の量は増加します。この変化によって、トークン間の交換レートが変動し、それが価格インパクトとして現れます。
価格インパクトの計算
価格インパクトは、取引によって価格がどれだけ変動するかを示す指標です。具体的な計算方法を以下に示します。
1. 基本的な価格インパクトの計算
あるユーザーがトークンAをΔx量購入し、トークンBをΔy量受け取るとします。取引後、プール内のトークンAの量は x + Δx、トークンBの量は y – Δy となります。定数積の式 x * y = k は、取引後も維持されるため、以下の式が成り立ちます。
(x + Δx) * (y – Δy) = k
k = x * y であるため、この式は以下のように書き換えることができます。
(x + Δx) * (y – Δy) = x * y
この式を展開し、Δy について解くと、以下のようになります。
Δy = (x * Δx) / (x + Δx)
価格インパクト（PI）は、取引後のトークンBの価格と取引前のトークンBの価格の差を、取引前のトークンBの価格で割ったものとして定義されます。取引前のトークンBの価格は y / x であり、取引後のトークンBの価格は (y – Δy) / (x + Δx) です。したがって、価格インパクトは以下の式で表されます。
PI = [( (y – Δy) / (x + Δx) ) – (y / x)] / (y / x)
Δy = (x * Δx) / (x + Δx) を代入すると、以下のようになります。
PI = [ (y – (x * Δx) / (x + Δx)) / (x + Δx) – (y / x) ] / (y / x)
この式を整理すると、以下のようになります。
PI = [ (y * (x + Δx) – x * Δx) / (x + Δx)^2 – y / x ] / (y / x)
PI = [ (y * x + y * Δx – x * Δx) / (x + Δx)^2 – y / x ] / (y / x)
PI = [ (y * x + (y – x) * Δx) / (x + Δx)^2 – y / x ] / (y / x)
2. 価格インパクトの近似式
上記の価格インパクトの式は、Δx が x に比べて非常に小さい場合にのみ、正確な値を返します。Δx が x に比べて大きい場合、近似式を用いることで、より正確な価格インパクトを計算することができます。一般的な近似式は以下の通りです。
PI ≈ Δx / (x + Δx)
この近似式は、Δx が x に比べて非常に小さい場合に、上記の正確な価格インパクトの式とほぼ同じ値を返します。しかし、Δx が x に比べて大きい場合でも、比較的正確な価格インパクトを計算することができます。
3. スリッページ（Slippage）との関係
スリッページは、実際に取引が実行される価格と、注文時に表示されていた価格との差を指します。価格インパクトは、スリッページの主要な原因の一つです。価格インパクトが大きいほど、スリッページも大きくなる傾向があります。ユニスワップでは、ユーザーが許容できるスリッページを設定することができます。これは、注文が実行される価格が、設定したスリッページを超えた場合に、取引がキャンセルされるようにするためのものです。
価格インパクトに影響を与える要因
価格インパクトの大きさは、以下の要因によって影響を受けます。
- プール内の流動性：プール内の流動性が低いほど、価格インパクトは大きくなります。流動性が高いプールでは、大量の取引を行っても価格変動を抑えることができます。
- 取引量：取引量が多いほど、価格インパクトは大きくなります。これは、取引量が増えるほど、プール内のトークンバランスが大きく変化するためです。
- トークンペアの価格：トークンペアの価格が高いほど、価格インパクトは小さくなる傾向があります。
価格インパクトを軽減するための戦略
価格インパクトを軽減するためには、以下の戦略が考えられます。
- 流動性の高いプールを選択する：流動性の高いプールを選択することで、価格インパクトを抑えることができます。
- 取引量を分割する：一度に大量の取引を行うのではなく、取引量を分割して複数回に分けて行うことで、価格インパクトを軽減することができます。
- スリッページ許容度を高く設定する：スリッページ許容度を高く設定することで、取引がキャンセルされるリスクを減らすことができます。ただし、スリッページ許容度を高く設定すると、実際に取引が実行される価格が、予想よりも不利になる可能性があります。
- 他のDEXを利用する：ユニスワップ以外のDEXを利用することで、より良い価格で取引できる場合があります。
価格インパクトの応用
価格インパクトの概念は、単に取引コストを理解するだけでなく、アービトラージ戦略や流動性提供戦略にも応用できます。
- アービトラージ：異なるDEX間で価格差が生じている場合、価格インパクトを考慮してアービトラージ戦略を実行することで、利益を得ることができます。
- 流動性提供：流動性を提供する場合、価格インパクトを考慮して、適切なトークンペアを選択し、流動性を提供することで、より高い収益を得ることができます。
まとめ
ユニスワップにおける価格インパクトは、取引量が増えるほど価格変動が大きくなる現象であり、取引コストを理解し、適切な取引戦略を立てる上で重要な概念です。本稿では、価格インパクトの計算方法を数式を用いて詳細に解説し、価格インパクトに影響を与える要因や、それを軽減するための戦略について考察しました。ユニスワップを利用する際には、価格インパクトを十分に理解し、自身の取引戦略に活かしていくことが重要です。また、価格インパクトの概念は、アービトラージ戦略や流動性提供戦略にも応用できるため、より高度なDeFi戦略を検討する上でも役立ちます。
